Bonjour,
vu tout ce que vous dites, oui direction véto. Ça ressemble à un coryza (malheureusement même les chats vaccinés peuvent en déclencher) et pour les diarrhées ça pourrait être des vers. Si vous ajoutez le puces au tableau, ce bout de chou est dans l'état dans lequel on récupère pas mal de chats nés dans la rue.
Par contre si vous n'avez pas de preuve de vaccination... c'est pas bon. Si le chat a été vacciné (et que vous êtes en France) la dame doit pouvoir vous donner son carnet de santé qui comprendra toutes les infos à ce sujet. Si elle ne l'a pas, méfiance, demandez lui le nom du véto qui aurait vu ce chat et renseignez-vous auprès de lui.
Sauf erreur de ma part, le rhume n'existe pas chez le chat c'est juste une forme de coryza (à confirmer par votre véto).