J'ai eu la même avec mon deuxième chat. On l'a trouvé nous-même quand il avait entre un mois et deux mois (on a jamais trop su son âge).
Il a été très souvent malade après son arrivée chez nous (grosses diarrhées notamment, ce qui repoussait ses vaccins à plus tard à chaque fois..). Alors oui, il faut l'emmener chez le véto pour avoir le traitement adapté et tout, mais non, inutile de trop s'inquiéter.
Notre chat a eu au moins cinq ou six diarrhées sévères avant de s'habituer vraiment à son nouveau rythme de vuie et tout ça. C'était dû à son jeune âge et au fait qu'il avait faillit mourir de faim... les premiers temps il finissait sa gamelle de croquettes d'un coup à chaque fois, parce qu'il avait peur de manquer de nourriture ensuite. Entre ça et le changement de régime (passer de cartons et insectes à croquettes, tout en ayant moins de deux mois, ça aide pas), il a bien fallu des semaines (je dirais 2-3 mois mais ça fait longtemps alors je me rappelle plus bien) avant qu'il soit en bonne santé et fasse des selles normales.
Pour ce qui est de sa peur, pareil. Il était extrêmement peureux, et on ne pouvait pas l'approcher. Il se cachait systématiquement sous les meubles quand on s'approchait trop, ou qu'on était dans la même pièce que lui. Notre premier chat a pas mal aidé de ce côté là, parce que comme ils étaient tout le temps à jouer ou dormir ensemble, ça évitait un stress supplémentaire au petit nouveau. Au début, il était câlin qu'avec notre chat, mais petit à petit, il est venu vers nous, doucement mais sûrement.
Je dirais que ça a pris un an avant qu'on puisse vraiment l'approcher normalement sans qu'il s'enfuit. Heureusement, on pouvait déjà le caresser et tout ça depuis bien avant, mais c'était lui qui devait venir ! (ou alors il fallait y aller très, très très doucement).
Aujourd'hui il est toujours aussi peureux (seuls les membres de la famille peuvent l'approcher, dès qu'il y a des invités ou une voix qu'il ne connait, il se cache sous mon lit...), mais il est vraiment adorable et très câlin. Il n'a plus été malade depuis longtemps maintenant 🙂
Désolé pour le pavé, j'espère au moins t'avoir un peu rassuré !